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Das Gross-Neveu-Modell ist ein Modell aus der Quantenfeldtheorie zur Beschreibung von Dirac-Fermionen unter der Vier-Fermionen-Wechselwirkung in einer Zeitdimension und einer Raumdimension, beschrieben durch eine nichtlineare Dirac-Gleichung. Untersucht wurde das Gross-Neveu-Modell erstmals von David Gross und André Neveu im Jahr 1974.

• Lagrange-Dichte

• Siehe auch

• Literatur

Die Lagrange-Dichte des Gross-Neveu-Modells verallgemeinert dabei die der Dirac-Gleichung durch einen zusätzlichen Wechselwirkungsterm:

L = ψ ψ ¯ ¯ j ( i ∂ ∂ / − − m ) ψ ψ j + g 2 2 n ( ψ ψ ¯ ¯ j ψ ψ j ) 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{j}(\mathrm {i} \partial \!\!\!/\,-m)\psi ^{j}+{\frac {g^{2}}{2n}}\left({\bar {\psi }}_{j}\psi ^{j}\right)^{2}.}

Mit der Euler-Lagrange-Gleichung ergibt sich daraus:

∂ ∂ L ∂ ∂ ψ ψ ¯ ¯ j − − ∂ ∂ μ μ ∂ ∂ L ∂ ∂ ( ∂ ∂ μ μ ψ ψ ¯ ¯ j ) = ( i ∂ ∂ / − − m ) ψ ψ j + g 2 n ( ψ ψ ¯ ¯ k ψ ψ k ) ψ ψ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\bar {\psi }}_{j}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }{\bar {\psi }}_{j})}}=(\mathrm {i} \partial \!\!\!/\,-m)\psi _{j}+{\frac {g^{2}}{n}}\left({\bar {\psi }}_{k}\psi ^{k}\right)\psi _{j}=0.}

Es lässt sich ebenfalls eine verallgemeinerte Lagrange-Dichte für das Gross-Neveu-Modell betrachten:

L = ψ ψ ¯ ¯ j ( i ∂ ∂ / − − m ) ψ ψ j + g 2 2 n ( ( ψ ψ ¯ ¯ j ψ ψ j ) 2 + ( ψ ψ ¯ ¯ j γ γ 5 ψ ψ j ) 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{j}(\mathrm {i} \partial \!\!\!/\,-m)\psi ^{j}+{\frac {g^{2}}{2n}}\left(\left({\bar {\psi }}_{j}\psi ^{j}\right)^{2}+\left({\bar {\psi }}_{j}\gamma _{5}\psi ^{j}\right)^{2}\right).}

Für diese folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung:

∂ ∂ L ∂ ∂ ψ ψ ¯ ¯ j − − ∂ ∂ μ μ ∂ ∂ L ∂ ∂ ( ∂ ∂ μ μ ψ ψ ¯ ¯ j ) = ( i ∂ ∂ / − − m ) ψ ψ j + g 2 n ( ψ ψ ¯ ¯ k ψ ψ k ) ψ ψ j + g 2 n ( ψ ψ ¯ ¯ k γ γ 5 ψ ψ k ) γ γ 5 ψ ψ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\bar {\psi }}_{j}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }{\bar {\psi }}_{j})}}=(i\partial \!\!\!/\,-m)\psi _{j}+{\frac {g^{2}}{n}}\left({\bar {\psi }}_{k}\psi ^{k}\right)\psi _{j}+{\frac {g^{2}}{n}}\left({\bar {\psi }}_{k}\gamma ^{5}\psi ^{k}\right)\gamma ^{5}\psi _{j}=0.}

• Soler-Modell

• Thirring-Modell

• David Gross und André Neveu: Dynamical symmetry breaking in asymptotically free field theories. In: Phys. Rev. D. 10 (10). 1974, S. 3235–3253, doi:10.1103/PhysRevD.10.3235, bibcode:1974PhRvD..10.3235G.